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三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系

北京航空航天大學(xué)物理學(xué)院 郝維昌

一個(gè)物理系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成,總能量為E,存在i個(gè)能級(jí),第i能級(jí)能量為εi,第i能級(jí)存在gi態(tài),若把ni個(gè)粒子分配給gi態(tài)上,約束條件:

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

1) Bose-Einstein statistics波色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì))

粒子不可分辨,每個(gè)態(tài)上粒子數(shù)不受限制,第i個(gè)能級(jí)上的狀態(tài)數(shù)

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

總的微觀狀態(tài)數(shù)i種狀態(tài)數(shù)聯(lián)乘

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

當(dāng)粒子數(shù)很大時(shí)

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拉格朗日乘子法,在約束條件下使Ω分布最大化,其變分為零

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因此,能量為εi的第i個(gè)能級(jí)的微觀狀態(tài)分布函數(shù)

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取消粒子數(shù)的限制α=0

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

  • 2) Fermi-Dirac statistics (費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì))

ni粒子分配到gi態(tài)上,粒子不可分辨且一個(gè)態(tài)只能存在一個(gè)粒子(Pauli不相容),第i個(gè)能級(jí)上的狀態(tài)數(shù)

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總的微觀狀態(tài)數(shù)

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

同樣適用拉格朗日乘子法

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

因此,能量為εi的第i個(gè)能級(jí)的微觀狀態(tài)分布函數(shù)為

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  • 3) Boltzman-Maxwell statistics(玻爾茲曼麥克斯韋統(tǒng)計(jì))

把ni粒子分配到gi態(tài)上,粒子在每個(gè)態(tài)上數(shù)目不受限制且粒子是可分辨態(tài),第i個(gè)能級(jí)上的狀態(tài)數(shù)

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N個(gè)粒子,當(dāng)不同粒子交換后存在不同微觀狀態(tài),同一個(gè)能級(jí)ni粒子,粒子交換不改變分布,因此有因子

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,總的微觀狀態(tài)數(shù)

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

同樣利用拉格朗日乘子法

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

因此,能量為εi的第i個(gè)能級(jí)的微觀狀態(tài)分布函數(shù)為

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

由此可見(jiàn)經(jīng)典系統(tǒng)不一定比量子簡(jiǎn)單,很多時(shí)候我們之所以對(duì)量子系統(tǒng)或者量子力學(xué)的理解不夠深刻,源于我們對(duì)經(jīng)典物理的一知半解。

上面的分析太數(shù)學(xué)了,下面舉一個(gè)具體的例子進(jìn)行說(shuō)明。

某一物理系統(tǒng)中第i個(gè)能級(jí)中存在3個(gè)態(tài)(gi=3), 有2個(gè)粒子(ni=2)需要分配到這三個(gè)態(tài)上,看一下第i能級(jí)最終狀態(tài)數(shù)wi

(1) 玻色子(粒子不可分辨用兩個(gè)粒子均表示為A,兩個(gè)粒子可以存在于同一個(gè)態(tài)上)

微觀狀態(tài)

g1

g2

g3

粒子分布情況枚舉

AA

AA

AA

A

A

A

A

A

A

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

(2) 費(fèi)米子(粒子不可分辨用兩個(gè)粒子均表示為A,由于泡利不相容原理兩個(gè)粒子不能存在于同一個(gè)態(tài)上)

微觀狀態(tài)

g1

g2

g3

粒子分布情況枚舉

A

A

A

A

A

A

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

(3) 玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)(粒子不可分辨用兩個(gè)粒子分別表示為A、B,兩個(gè)粒子可以存在于同一個(gè)態(tài)上)

微觀狀態(tài)

g1

g2

g3

粒子分布情況枚舉

AB

AB

AB

A

B

B

A

A

B

B

A

A

B

B

A

三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系(三種統(tǒng)計(jì)模型的區(qū)別與聯(lián)系圖)

留給朋友們一個(gè)問(wèn)題,為何這些統(tǒng)計(jì)模型都是指數(shù)函數(shù)?玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)與玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)之間內(nèi)在聯(lián)系是什么?

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