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作者：王洪石

關(guān)鍵詞：質(zhì)量管理軟件、問題解決、根本原因分析、故障樹、故障樹分析、FTA、可靠性、魚骨圖、集合、邏輯、布爾代數(shù)、布爾運(yùn)算、布爾表達(dá)式

FTA的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

我們前文提到，故障樹分析FTA可以用于系統(tǒng)設(shè)計(jì)、安全分析甚至是根本原因分析，既可以做定性分析又可以做定量分析，是全能型的分析技術(shù)。

故障樹分析的基礎(chǔ)工具是故障樹圖，從特定的故障事件開始， 利用故障樹考察可能引起該事件發(fā)生的各種原因事件及其相互關(guān)系。

故障樹通過事件符號(hào)和邏輯門符號(hào)表達(dá)事件、原因及其相互關(guān)系，是一種利用布爾代數(shù)(又稱布爾邏輯) 符號(hào)演繹地表示特定故障事件 發(fā)生原因及其邏輯關(guān)系的邏輯樹圖。

為了進(jìn)行故障樹的定性分析和定量分析，需要建立故障樹的數(shù)學(xué)模型，寫出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

布爾代數(shù)是故障樹分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。布爾代數(shù)是集合論的一部分，是一種邏輯運(yùn)算方法 它特別適合于描述僅能取兩種對(duì)立狀態(tài)之一的事物。

故障樹中的事件只能取故障發(fā)生或不發(fā)生兩種狀態(tài)之一，不存在任何中間狀態(tài)，并且故障樹的事件之間的關(guān)系是邏輯關(guān)系，所以可以用布爾代數(shù)來表現(xiàn)故障樹。

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集合的基本概念

· 集合：簡稱集，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念。集合是“確定的一堆東西”，是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象匯總而成的集體；集合里的“東西”是構(gòu)成集合的對(duì)象，這些對(duì)象則稱為集合元素。

現(xiàn)代的集合一般被定義為：由一個(gè)或多個(gè)確定的元素所構(gòu)成的整體。從最普遍的意義上說，具體確定的可以區(qū)分的若干事務(wù)(事項(xiàng)、事件)的全體就是集合，其中的事務(wù)叫做元素。

通常用大寫字母如A、B、S、T、…表示集合，而用小寫字母如a、b、x、y、…表示集合的元素。

比如，魚骨圖中，六個(gè)主刺元素 {Man, Machine, Material, Method, Measurement, Enviroment} 構(gòu)成原因Causes的集合，每個(gè)主刺下可以再分很多小刺形成子集。

o 空集不包含任何元素，記為?。空集是特殊的集合。

o x是缺陷集合A的元素，則稱x屬于A，記作x∈A。

o y不是缺陷集合A的元素，則稱y不屬于A，記為y?A。

o 集合A中元素的個(gè)數(shù)為集合中的元數(shù)，記作|A|。

o 集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，集合中的元素?zé)o順序之分。

· 集合的表示方法：

集合有如下幾種表示方法：

o 列舉法，列出集合的所有元素，并用花括號(hào)括起來。

例如，在質(zhì)量管理軟件QMS中，某公司質(zhì)量部分別收集某個(gè)系列的兩個(gè)產(chǎn)品在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生的缺陷類型，其缺陷集合分別是A和B，A={a，b，c，d，e，x}，B={f，b，g，d，h，y}。

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o 描述法，將集合中元素的共同屬性描述出來。

例如，在質(zhì)量管理軟件QMS中，設(shè)所有特殊特性的集合為T，關(guān)鍵特性、重要特性和一般特性的集合分別是C、S和G，則C={x|x∈T}。

o 圖像法，是一種利用二維平面上的點(diǎn)集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圓形表示一個(gè)集合，是集合的一種直觀的圖形表示法。

o 區(qū)間法，用數(shù)軸、無窮大、無窮小、開區(qū)間、閉區(qū)間 、半開半閉區(qū)間表示。數(shù)學(xué)分析中，最常遇到的實(shí)數(shù)集的子集是區(qū)間。

o 符號(hào)法，有些集合可以用一些特殊符號(hào)表示。例如，R：實(shí)數(shù)集合(包括有理數(shù)和無理數(shù))；?：空集(不含有任何元素的集合)。

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· 有限集和無限集：集合中元素的數(shù)目稱為集合的基數(shù)，集合A的基數(shù)記作card(A)。當(dāng)其為有限大時(shí)，集合A稱為有限集，反之則為無限集。 一般的，把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含無限個(gè)元素的集合叫做無限集。

· 交集：由屬于A且屬于B的相同元素組成的集合，記作A∩B(或B∩A)，讀作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}。注意交集越交越少。若A包含B，則A∩B=B，A∪B=A。

例如，上面A和B兩個(gè)缺陷集合的交集A∩B={b，d}。

· 并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作A∪B(或B∪A)，讀作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。注意并集越并越多，這與交集的情況正相反。

例如，上面A和B兩個(gè)缺陷集合的并集A∪B={a，b，c，d，e，f，g，h，x，y}。

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· 子集：設(shè)S，T是兩個(gè)集合，如果S的所有元素都屬于T，即x∈S ? x∈T，則稱S是T的子集，記為S?T，讀作“S含于T”。 符號(hào)?讀作“包含于”，表示該符號(hào)左邊的集合中的元素全部是該符號(hào)右邊集合的元素。對(duì)任何集合，都有S?S，??S。

o 相等集合：如果集合X是集合Y的子集，且集合Y是集合X的子集，此時(shí)，集合X與集合Y中的元素相同，因此集合X與集合Y相等。

o 空集?是任何一個(gè)集合的子集。

· 真子集：如果M是N的一個(gè)子集，即M?N，但在N中存在一個(gè)元素p不屬于M ，即M?N，則稱M是N的一個(gè)真子集。

o 空集?是任意一個(gè)非空集合Ω的真子集。

· 補(bǔ)集：一般指絕對(duì)補(bǔ)集。

假設(shè)質(zhì)量管理軟件中的某個(gè)系列產(chǎn)品的所有缺陷的集合為F，那么A和B都是F的一個(gè)子集，由F中所有不屬于A或B的元素組成的集合，叫做子集A或B在F中的絕對(duì)補(bǔ)集。

在集合論和數(shù)學(xué)的其他分支中，存在補(bǔ)集的兩種定義：相對(duì)補(bǔ)集和絕對(duì)補(bǔ)集。

1）相對(duì)補(bǔ)集：針對(duì)缺陷集合A和B，由屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為B關(guān)于A的相對(duì)補(bǔ)集，記作A-B或AB，即A-B={ x| x∈A,且x?B}={a，c，e，x}。

2）絕對(duì)補(bǔ)集：假設(shè)某公司產(chǎn)品缺陷的全集為U，有A?U，則A關(guān)于全集合U的相對(duì)補(bǔ)集稱為A的絕對(duì)補(bǔ)集(或簡稱補(bǔ)集)，記作A'或~A或CuA。

· 冪集：針對(duì)缺陷集合A，由集合A所有子集組成的集合，稱為集合A的冪集，記作2A={ x| x?A} [注：也有記作P(A)或CuA]。對(duì)于冪集有定理如下：若集合A是由n個(gè)元素所組成的有限集合，A的冪集的基數(shù)等于2的有限集A的基數(shù)次冪。

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布爾代數(shù)運(yùn)算法則

在布爾代數(shù)中， 與集合的“并” 相對(duì)應(yīng)的是邏輯和運(yùn)算，記作” “；與集合的“交” 相對(duì)應(yīng)的是邏輯積運(yùn)算，記作”·“。

故障樹中的邏輯或門(OR)對(duì)應(yīng)于布爾代數(shù)的邏輯和運(yùn)算，兩個(gè)事件為并聯(lián)； 邏輯與門(AND)對(duì)應(yīng)于邏輯積運(yùn)算，兩個(gè)事件為串聯(lián)。

傳統(tǒng)的加減乘除四則運(yùn)算反映的是事物間的數(shù)量關(guān)系，而布爾運(yùn)算則反映的是事物間的因果關(guān)系。與普通代數(shù)四則運(yùn)算一樣，布爾代數(shù)的運(yùn)算也遵循基本的運(yùn)算法則。

布爾代數(shù)中的變量代表一種狀態(tài)或概念，數(shù)值1或0并不是表示變量在數(shù)值上的差別，而是代表狀態(tài)與概念存在與否的符號(hào)。布爾代數(shù)主要運(yùn)算法則有：結(jié)合律，交換律，分配律，吸收律，冪等律等。

下面列出了故障樹分析中常用到的布爾代數(shù)運(yùn)算法則：

交換律：A·B=B·A；A B=B A；

結(jié)合律：A·(B·C)=(A·B)·C；A (B C)=(A B) C；

分配律：A·(B C)=A·B A·C；A (B·C)=(A B)·(A C)；

吸收律：A·(A B)=A；A A·B=A；

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冪等律：A·A=A；A A=A；

互補(bǔ)律：A·A'=?=0；A A'=Ω=1；

對(duì)合律：(A')'=A；

重疊律：A A'B=B' BA=A B；

摩根定律：(A B)'=A' B'；(A·B)'=A' B'

布爾代數(shù)表達(dá)式的簡化

把故障樹中連接各事件的邏輯門用相應(yīng)的布爾代數(shù)邏輯運(yùn)算表現(xiàn)， 就得到了故障樹的布爾表達(dá)式。 一般地， 可以自上而下地把故障樹逐步展開， 得到其布爾表達(dá)式。

從上面布爾代數(shù)運(yùn)算法則的介紹中，我們不難發(fā)現(xiàn)，等式兩邊的表達(dá)式雖然不同，但卻是等價(jià)的，邏輯功能是相同的。

也就是說，同一故障樹可以有不同的表達(dá)形式，每一表達(dá)式都可以畫出與其相應(yīng)的邏輯圖。

邏輯表達(dá)式最簡單的標(biāo)準(zhǔn)有兩個(gè)：一是所含乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少；二是在前一條件下，每個(gè)乘積項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)也最少。

常用的化簡方法有兩種：代數(shù)法和卡諾圖法。

1. 代數(shù)法

代數(shù)法，又叫公式法，利用布爾代數(shù)的基本運(yùn)算法則，對(duì)較復(fù)雜的布爾代數(shù)式進(jìn)行演算化簡的方法。如何使布爾代數(shù)式達(dá)到最簡，在很大程度上依賴人們對(duì)布爾運(yùn)算掌握的熟練程度和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。下面是幾種常用的化簡方法。

1）并項(xiàng)法

利用互補(bǔ)律：A A'=1，并項(xiàng)后消去變量。

例如：Y = A·B·C A'·B·C = (A A')B·C = B·C

2）吸收法

利用吸收律：A A·B=A，吸收多余項(xiàng)，消去多余變量。

例如：Y = A·B A·B·C = (A·B) (A·B)C = AB，或 Y = A·B(1 C) = A·B；

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3）消去法

利用吸收律、分配律、摩根定律等消去多余因子。

例如：Y = A·B A'·C B'·C = A·B (A' B')·C = A·B (A·B)'·C = (A·B) (A·B)'·C = A·B C

4）配項(xiàng)法

利用互補(bǔ)律A A'=1，A 1=1等，先把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，再重新與其他項(xiàng)組合進(jìn)行化簡，消去更多的項(xiàng)。

例如：Y = A·B B·C (A·C)' = A·B(C C') B·C A·C' = A·B·C A·B·C' B·C A·C' = (A 1)B·C十A·C'(B 1) = B·C A·C'

通過代數(shù)法化簡表達(dá)式，沒有一個(gè)固定的模式，往往要綜合運(yùn)用多種方法，逐步積累經(jīng)驗(yàn)才能運(yùn)用自如。

2. 卡諾圖法

用代數(shù)法化簡布爾表達(dá)式，需要依賴經(jīng)驗(yàn)和技巧，有些復(fù)雜表達(dá)式，很難通過代數(shù)法求得最簡形式。

卡諾圖化簡法是一種更加系統(tǒng)并有統(tǒng)一規(guī)則可循的邏輯函數(shù)化簡法，它是邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)按相鄰關(guān)系排列的方格圖，具有幾何直觀性這一明顯的特點(diǎn)，在變量較少(不超過六個(gè))的情況下比較方便，且能得到最簡結(jié)果。

此法由卡諾(M.Karnaugh)于1953年提出，感興趣的讀者可以自行查閱資料了解。

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–完–